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Anwendung der Quadratischen Gleichung in der Chemie

Für den Fall, dass eine mittelstarke Säure nur teilweise mit Wasser reagiert, dass also der von der Säure abgespaltene Teil sich wesentlich von der Ausgangskonzentration unterscheidet, muss mit der Quadratischen Gleichung gerechnet werden. Die Form der Säure wird im folgenden mit HA umschrieben.

Für die unvollständige Dissoziation gilt die Reaktionsgleichung: HA + H2O <====>  H3O+ + A‾
Der Ausdruck für die GG-Konstante ergibt sich nach dem MWG zu:  
Kennt man die anfängliche Gesamtkonzentration der Säure mit c0(HA) und weiß man, dass im Gleichgewichtsfall nur ein Teil der Säure undissoziiert bleibt, während der andere Teil in A‾-Ionen dissoziiert ist, dann gilt 1. die sog. Massengleichgewichts-Bedingung:

c0(HA) = c(HA) + c(A‾) . Sie besagt, dass die Gesamtmenge des Anions während der Dissoziation konstant bleibt.

Ferner ist bekannt, dass die Konzentrationen der A‾-Ionen und der H3O+-Ionen einander gleich sind, da die Dissoziation von HA die einzige Quelle für H3O+ ist. Die Dissoziation des Wassers und der Beitrag von H3O+ aus dem Wasser zur Gesamtkonzentration von H3O+ kann hier vernachlässigt werden.
 

Somit gilt als 2. Bedingung die Ladungsgleichgewichtsbedingung: c(H3O+) = c(A‾) . Sie besagt, dass die positive Gesamtladung gleich der negativen Gesamtladung sein muss!

Die bisherige Betrachtung hinsichtlich der Erhaltung der Anionmenge und der Ladungsneutralität wird dazu benutzt, den Ausdruck für die GG-Konstante zu vereinfachen: es sei die gesuchte c(H3O+) = c(A‾) = x .

Somit wird aus dem obigen Ausdruck Ks = x2/c(HA) und c0(HA) = c(HA) + x .
Durch Umstellung gewinnt man den Term c(HA) = c0(HA) - x ; die Konzentration der undissoziierten Säure ist also gleich der anfänglichen Gesamtkonzentration c0(HA) minus der Konzentration x, die dissoziiert ist.

Damit wird der Term der GG-Konstanten zu: Ks = x2 / (c0(HA) - x); dieser Term wird umgeformt in eine quadratische Gleichung:

Ks *(c0(HA) - x) = x2 <=> Ks * c0(HA) - Ks * x = x2 <=> x2 + (Ks * x) - (Ks * c0(HA)) = 0
Nach der pq-Formel hat dieser Term die Lösung:
  Von den beiden Lösungen dieser Gleichung ist nur die mit der positiven Wurzel sinnvoll, da es keine negativen Konzentrationen gibt.

Damit kann die Tabelle aus dem AB „Stärke einer Säure bzw. Base (III)“ so erweitert werden, wie es die Tabelle darstellt.
 
Qualität Säure Base Rechenweg
stark pKs < 1,5 pKb < 1,5 c(H3O+) = c0(HA)
mittelstark 1,5 < pKs < 4,75 1,5 < pKb < 4,75 pq-Formel
schwach pKs > 4,75 pKb > 4,75
Unter bestimmten Bedingungen kann diese Gleichung vereinfacht werden, dann nämlich, wenn x im Verhältnis zur Ausgangskonzentration sehr klein ist und damit die Konzentration der undissoziierten Säure praktisch gleich der Konzentration der gesamten vorhandenen Säure ist. Damit landet man automatisch beim Rechenweg für schwache Säuren bzw. Basen.

update: 16.06.2007                                                                                                                                zurück        zur Hauptseite